kuliah teori graph

TEORI GRAF

Teori Graf adalah cabang kajian yang mempelajari sifat-sifat graf. Secara informal, suatu graf adalah himpunan benda-benda yang disebut simpul (vertex atau node) yang terhubung oleh sisi (edge) atau busur (arc). Biasanya graf digambarkan sebagai kumpulan titik-titik (melambangkan simpul) yang dihubungkan oleh garis-garis (melambangkan sisi) atau garis berpanah (melambangkan busur). Suatu sisi dapat menghubungkan suatu simpul dengan simpul yang sama. Sisi yang demikian dinamakan gelang (loop).

Banyak sekali struktur yang bisa direpresentasikan dengan graf, dan banyak masalah yang bisa diselesaikan dengan bantuan graf. Jaringan persahabatan pada Friendster bisa direpresentasikan dengan graf: simpul-simpulnya adalah para pemakai Friendster dan ada sisi antara A dan B jika dan hanya jika A berteman (berkoinsidensi) dengan B. Perkembangan algoritma untuk menangani graf akan berdampak besar bagi ilmu komputer.

Sebuah struktur graf bisa dikembangkan dengan memberi bobot pada tiap sisi. Graf berbobot dapat digunakan untuk melambangkan banyak konsep berbeda. Sebagai contoh jika suatu graf melambangkan jaringan jalan maka bobotnya bisa berarti panjang jalan maupun batas kecepatan tertinggi pada jalan tertentu. Ekstensi lain pada graf adalah dengan membuat sisinya berarah, yang secara teknis disebut graf berarah atau digraf (directed graph). Digraf dengan sisi berbobot disebut jaringan.

Jaringan banyak digunakan pada cabang praktis teori graf yaitu analisis jaringan. Perlu dicatat bahwa pada analisis jaringan, definisi kata "jaringan" bisa berbeda, dan sering berarti graf sederhana (tanpa bobot dan arah).

Suatu graph G dapat dinyatakan sebagai G = < V,E > . Graph G terdiri atas himpunan V yang berisikan simpul pada graf tersebut dan himpunan dari E yang berisi sisi pada graf tersebut. Himpunan E dinyatakan sebagai pasangan dari simpul yang ada dalam V. Sebagai contoh definisi dari graf pada gambar di atas adalah : V = {1,2,3,4,5,6} dan E = {(1,2),(1,5),(2,3),(3,4),(4,5),(5,2),(4,6)}

Pada digraf maka pasangan-pasangan ini merupakan pasangan terurut. Untuk menyatakan digraf (gambar kedua yang menggunakan tanda panah) kita dapat menggunakan himpunan edge sebagai berikut :

E = { < 1,2 > , < 1,5 > , < 2,5 > , < 3,2 > , < 4,3 > , < 5,4 > , < 4,6 > }

Dalam himpunan edge untuk digraf, urutan pasangan verteks menentukan arah dari edge tersebut.

Dalam teori graf, formalisasi ini untuk memudahkan ketika nanti harus membahas terminologi selanjutnya yang berhubungan dengan graph. Beberapa terminologi berhubungan dengan teori graf :

• Degree atau derajat dari suatu node, jumlah edge yang dimulai atau berakhir pada node tersebut. Node 5 berderajat 3. Node 1 berderajat 2.
• Path suatu jalur yang ada pada graph, misalnya antara 1 dan 6 ada path
• Cycle siklus ? path yang kembali melalui titik asal 2 kembali ke 2.
• Tree merupakan salah satu jenis graf yang tidak mengandung cycle. Jika edge f dan a dalam digraf di atas dihilangkan, digraf tersebut menjadi sebuah tree. Jumlah edge dalam suatu tree adalah nV - 1. Dimana nV adalah jumlah vertex
• Graf Tak Berarah (Undirected Graph) Graf G disebut graf tak berarah (undirected graph) jika setiap sisinya tidak berarah. Dengan kata lain (v_i,v_j)=(v_j,v_i)
• Graf Berarah (Directed Graph) Graf G disebut graf berarah (directed graph) jika setiap sisinya berarah. Titik awal dari suatu sisi disebut verteks awal (initial vertex) sedangkan titik akhir dari suatu sisi disebut verteks akhir (terminal vertex). Loop pada graf adalah sisi yang verteks awal dan verteks akhirnya sama.

http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_graf

materi teori graph

GRAPH

Graph Graph

• Graph digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut .

• Gambar berikut ini sebuah graph yang menyatakan peta jaringan jalan raya yang menghubungkan sejumlah kota di Provinsi Jawa Tengah.

Graph

• Sejarah Graph: masalah jembatan KÖnigsberg (tahun 1736)

Graph yang memoresentasikan jembatan konigsberg :

                         Simpul (vertex) -> menyatakan daratan

                         Sisi (edge) -> menyatakan jembatan

Bisakah melalui setiap jembatan tepat sekali dan kembali lagi ketempat semula?

Definisi Graph 

Graph G = (V, E), yang dalam hal ini:

     V  = himpunan tidak-kosong dari simpul-simpul

             (vertices)

          = { v1 , v2 , ... , vn }

     E  = himpunan sisi  (edges) yang 

            menghubungkan sepasang simpul

         = {e1 , e2 , ... , en }

 

Graph 

                                             G1                     G2                   G3

Graph 

Graph G1 :

G1 adalah graph dengan

V = { 1, 2, 3, 4 }

E = { (1, 2), (1, 3), (2, 3),

         (2, 4), (3, 4) }

Graph G2 :

G2 adalah graph dengan

V = { 1, 2, 3, 4  }

E = { (1, 2), (2, 3), (1, 3),

        (1, 3), (2, 4), (3, 4),

        (3, 4) }      

    = { e1, e2, e3, e4, e5,

         e6, e7}

Graph G3 :

G3 adalah graph dengan

V = { 1, 2, 3, 4  }

E = { (1, 2), (2, 3), (1, 3),

         (1, 3), (2, 4), (3, 4),

         (3, 4), (3, 3) } 

   = { e1, e2, e3, e4, e5, e6,

        e7, e8} 

Graph G2 : 

Pada G2, sisi    e3  = (1, 3) dan sisi e4 = (1, 3) dinamakan sisi-ganda (multiple edges atau paralel edges) karena kedua sisi ini menghubungi dua buah simpul yang sama, yaitu simpul 1 dan simpul 3.

Graph G3 :

Pada G3, sisi e8 = (3, 3) dinamakan gelang atau kalang (loop) karena ia berawal dan berakhir pada simpul yang sama.

 

Jenis-Jenis Graph

 Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graph, maka graph 

digolongkan menjadi dua jenis:

1. Graph sederhana (simple graph).
2. Graph tak-sederhana (unsimple-graph).

Graph sederhana (simple graph)

Graph yang tidak mengandung gelang maupun sisi-ganda dinamakan graph sederhana. G1 adalah contoh graph sederhana.

Graph tak-sederhana (unsimple-graph)

Graph yang mengandung sisi ganda atau gelang dinamakan  graph tak-sederhana (unsimple graph). G2 dan G3 adalah contoh graph tak-sederhana.

Jenis-Jenis Graph

Berdasarkan jumlah simpul pada suatu graph, maka secara umum graph dapat digolongkan menjadi dua jenis:

1. Graph berhingga (limited graph)
2. Graph tak-berhingga (unlimite graph)

Graph berhingga (limited graph)

Graph berhingga adalah graph yang jumlah simpulnya, n, berhingga.

Graph tak-berhingga (unlimited graph) 

Graph yang jumlah simpulnya, n, tidak berhingga banyaknya disebut graph tak-berhingga.

Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graph  dibedakan atas 2 jenis:

1. Graph tak-berarah (undirected graph) Graph yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah disebut graph tak-berarah. Tiga buah graph pada Gambar 2 adalah graph tak-berarah.
2.  Graph berarah (directed graph atau digraph)                                                                       Graph yang setiap sisinya diberikan orientasi arah disebut sebagai graph berarah. Dua buah graph pada Gambar 3 adalah graph berarah.
   
   
   

Jenis-Jenis Graph

Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graph dibedakan atas 2 jenis :

1. Graph tak-berarah (undirected graph) 
2. Graph berarah (directed graph atau digraph)   

 

Graph tak-berarah (undirected graph) 

Graph yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah disebut graph tak-berarah. Graph G1, G2, dan G3 adalah graph tak-berarah.

Graph berarah (directed graph atau digraph)

Graph yang setiap sisinya diberikan orientasi arah disebut sebagai graph berarah. 

                                                       (a) G4                                  (b) G5

(a) graph berarah 

(b) graph ganda berarah

Jenis-jenis graph [ROS99]

 Contoh Terapan Graph

Rangkaian listrik.

 Contoh Terapan Graph

                        metana (CH4)            etana (C2H6)              propana (C3H8)               

 Contoh Terapan Graph

Transaksi konkuren pada basis data terpusat

  Transaksi T0 menunggu  transaksi T1  dan T2 

  Transaksi T2 menunggu transaksi T1  

  Transaksi T1  menunggu transaksi T3 

  Transaksi T3 menunggu transaksi T2

 Contoh Terapan Graph

Pengujian program

read(x);

while x <> 9999 do

 begin    

   if x < 0 then

       writeln(‘Masukan tidak boleh negatif’)

   else

        x:=x+10;

   read(x);

 end;

writeln(x);

Keterangan 

Keterangan:  

1 : read(x) 

2 : x <> 9999

3 : x < 0

4 : writeln(‘Masukan tidak boleh negatif’);

5 : x := x + 10

6 : read(x)             

7 : writeln(x)

Contoh Terapan Graph

Terapan graph pada teori otomata [LIU85].

Mesin jaja (vending machine)

  Keterangan:

  a : 0 sen dimasukkan

  b : 5 sen dimasukkan

  c : 10 sen dimasukkan

  d : 15 sen atau lebih dimasukkan

Ketetanggaan (Adjacent)

Dua buah simpul dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung langsung.

Tinjau graph  :

simpul 1 bertetangga dengan simpul 2 dan 3,

simpul 1 tidak bertetangga dengan simpul 4.

Graph

Bersisian (Incidency)

Untuk sembarang sisi e = (vj, vk) dikatakan

  e bersisian dengan simpul vj , atau

  e bersisian dengan simpul vk

Tinjau graph :

sisi (2, 3) bersisian dengan simpul 2

dan simpul 3,

sisi (2, 4) bersisian dengan simpul 2

dan simpul 4, 

tetapi sisi (1, 2) tidak bersisian dengan simpul 4.

Simpul Terpencil (Isolated Vertex)

Simpul terpencil ialah simpul yang tidak mempunyai sisi yang bersisian dengannya.

Tinjau graph : simpul 5 adalah simpul terpencil.

Graph  Kosong (null graph atau empty graph)

Graph yang himpunan sisinya merupakan himpunan kosong (Nn).

Derajat (Degree)

Derajat suatu simpul adalah jumlah sisi yang bersisian dengan simpul tersebut.

Notasi: d(v)

Tinjau graph G1:

d(1) = d(4) = 2

d(2) = d(3) = 3

Derajat (Degree)

Tinjau graph G3:

d(5) = 0    à simpul terpencil

d(4) = 1    à simpul anting-anting (pendant vertex)

Tinjau graph G2:

d(1) = 3     à bersisian dengan sisi ganda 

d(2) = 4     à bersisian dengan sisi gelang (loop) 

Graph G3

Graph G2

Derajat (Degree)

Pada graph berarah,

  din(v) = derajat-masuk (in-degree)

             = jumlah busur yang masuk ke

                simpul v

  dout(v) = derajat-keluar (out-degree)

               = jumlah busur yang keluar dari

                  simpul v

   d(v) = din(v) + dout(v)

Derajat (Degree)

Tinjau graph :

  din(1) = 2; dout(1) = 1

  din (2) = 2; dout(2) = 3

  din (3) = 2; dout(3) = 1

  din (4) = 1; dout(4) = 2

Lemma Jabat Tangan

Jumlah derajat semua simpul pada suatu graph adalah genap, yaitu dua kali  jumlah sisi pada graph tersebut. 

Dengan kata lain, jika G = (V, E), maka 

Lemma Jabat Tangan

Tinjau graph G1: 

d(1) + d(2) + d(3) + d(4) =

2 + 3 + 3 + 2 = 10 =

2 ´ jumlah sisi = 2 ´ 5

Tinjau graph G2: 

d(1) +d(2) + d(3)

= 3 + 3 + 4 = 10

= 2 ´ jumlah sisi = 2 ´ 5

Graph G1

Graph G2

Lemma Jabat Tangan

Tinjau graph G3: 

d(1) + d(2) + d(3) + d(4) + d(5)

= 2 + 2 + 3 + 1 + 0

= 8

= 2 ´ jumlah sisi

= 2 ´ 4

Graph G3

Lemma Jabat Tangan

Diketahui graph dengan lima buah simpul. Dapatkah kita menggambar graph tersebut jika derajat masing-masing simpul adalah:

  (a) 2, 3, 1, 1, 2

  (b) 2, 3, 3, 4, 4

Penyelesaian:  

(a) tidak dapat, karena jumlah derajat semua simpulnya

     ganjil

    (2 + 3 + 1 + 1 + 2 = 9).

(b) dapat, karena   jumlah derajat semua simpulnya      

    genap

     (2 + 3 + 3 + 4 + 4 = 16).

Lintasan (Path)

Lintasan yang panjangnya n dari simpul awal v0 ke simpul tujuan vn di dalam graph G ialah barisan berselang-seling simpul-simpul dan sisi-sisi yang berbentuk v0, e1, v1, e2, v2,... , vn –1, en, vn sedemikian sehingga e1 = (v0, v1), e2 = (v1, v2), ... , en = (vn-1, vn) adalah sisi-sisi dari graph G.

Lintasan (Path)

• Tinjau graph G1: lintasan 1, 2, 4, 3 adalah lintasan dengan barisan sisi (1,2), (2,4), (4,3).
• Panjang lintasan adalah jumlah sisi dalam lintasan tersebut. Lintasan 1, 2, 4, 3 pada G1 memiliki panjang 3.  

 

Siklus (Cycle) atau Sirkuit (Circuit)

• Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut sirkuit atau siklus.
• Panjang sirkuit adalah jumlah sisi dalam sirkuit tersebut. Sirkuit 1, 2, 3, 1 pada G1 memiliki panjang 3
• Tinjau graph G1: 1, 2, 3, 1 adalah sebuah sirkuit.

Terhubung (Connected)

Dua buah simpul v1 dan simpul v2 disebut terhubung jika terdapat lintasan dari v1 ke v2.

G disebut graph terhubung (connected graph)  jika untuk setiap pasang simpul vi dan vj dalam 

himpunan V terdapat lintasan dari vi ke vj

Jika tidak, maka G disebut graph tak-terhubung (disconnected graph).

Terhubung (Connected)

Contoh graph tak-terhubung:

Terhubung (Connected) Graph berarah

Graph berarah G dikatakan terhubung jika graph tidak berarahnya terhubung (graph tidak berarah dari G diperoleh dengan menghilangkan arahnya).

Terhubung (Connected) Graph berarah

• Dua simpul, u dan v, pada graph berarah G disebut terhubung kuat (strongly connected) jika terdapat lintasan berarah dari u ke v dan juga lintasan berarah dari v ke u. 
• jika u dan v tidak terhubung kuat tetapi terhubung pada graph tidak berarahnya, maka u dan v dikatakan terhubung lemah (weakly connected).

Terhubung (Connected) Graph berarah

Graph berarah G disebut graph terhubung kuat (strongly connected graph) apabila untuk setiap pasang simpul sembarang u dan v di G, terhubung kuat. Kalau tidak, G disebut graph terhubung lemah.

• Graph berarah terhubung lemah

   

• Graph berarah terhubung kuat.

Upagraph (Subgraph) dan Komplemen Upagraph

• Misalkan G = (V, E) adalah sebuah graph. G1 = (V1, E1) adalah upagraph (subgraph) dari G jika V1  Í V dan E1 Í E.
•  Komplemen dari upagraph G1 terhadap graph G adalah graph G2 = (V2, E2) sedemikian sehingga E2 = E - E1 dan V2 adalah himpunan simpul yang anggota-anggota E2 bersisian dengannya.

 Upagraph (Subgraph) dan Komplemen Upagraph

                                    (a) Graph G1                (b) Sebuah upagraph               (c) Komplemen dari upagraph

Komponen graph (connected component)

adalah jumlah maksimum upagraph terhubung dalam graph G. Graph G di bawah ini mempunyai 4 buah komponen.

Komponen graph (connected component)

• Pada graph berarah, komponen terhubung kuat (strongly connected component) adalah jumlah maksimum upagraph yang terhubung kuat. 
•  Graph di bawah ini mempunyai 2 buah komponen terhubung kuat

Upagraph Rentang (Spanning Subgraph)

• Upagraph G1 = (V1, E1) dari G = (V, E) dikatakan upagraph rentang jika V1 =V (yaitu G1 mengandung semua simpul dari G). 

                                                    (a) Graph G             (b) Upagraph rentang dari G        (c) Bukan upagraph rentang dari G

Cut-Set

Cut-set dari graph terhubung G adalah himpunan sisi yang bila dibuang dari G menyebabkan G tidak terhubung. Jadi, cut-set selalu menghasilkan dua buah komponen.

Cut-Set

• Pada graph di bawah, {(1,5), (1,4), (2,4), (2,3)} adalah cut-set. Terdapat banyak cut-set pada sebuah graph terhubung.
• Himpunan {(1,5), (4,5)} juga adalah cut-set, {(1,2), (1,4), (1,5)} adalah cut-set, {(5,6)} juga cut-set,
•  tetapi {(1,5), (4,5), (3,4)} bukan cut-set sebab himpunan bagiannya, {(1,5), (4,5)} adalah cut-set.

Graph Berbobot (Weighted Graph)

Graph berbobot adalah graph yang setiap sisinya diberi sebuah harga (bobot).

Beberapa Graph Sederhana Khusus

1. Graph Lengkap (Complete Graph) 
2. Graph Lingkaran
3. Graph Teratur (Regular Graphs) 
4. Graph Bipartite (Bipartite Graph) 

Graph lengkap

ialah graph sederhana yang setiap simpulnya mempunyai sisi ke semua simpul lainnya. Graph lengkap dengan n buah simpul dilambangkan dengan Kn. Jumlah sisi pada graph lengkap yang terdiri dari n buah simpul adalah

n(n – 1)/2.

Graph lingkaran

adalah graph sederhana yang setiap simpulnya berderajat dua. Graph lingkaran dengan n simpul dilambangkan dengan Cn.

Graph Teratur (Regular Graphs)

Graph yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama disebut graph teratur. Apabila derajat setiap simpul adalah r, maka graph tersebut disebut sebagai graph teratur derajat r. Jumlah sisi pada graph teratur adalah nr/2.

Graph Bipartite (Bipartite Graph)

Graph G yang himpunan simpulnya dapat dipisah menjadi dua himpunan bagian V1 dan V2,  sedemikian sehingga setiap sisi pada G menghubungkan sebuah simpul di V1 ke sebuah simpul di V2 disebut graph bipartit dan dinyatakan sebagai G(V1, V2).

Graph Bipartite (Bipartite Graph)

Graph G di bawah ini adalah graph bipartit, karena simpul-simpunya dapat dibagi menjadi V1 = {a, b, d} dan V2 = {c, e, f, g}

Graph Bipartite (Bipartite Graph)

Representasi Graph

1. Matriks Ketetanggaan (adjacency matrix) 
2. Matriks Bersisian (incidency matrix)
3. Senarai Ketetanggaan (adjacency list)

Matriks Ketetanggaan (adjacency matrix)

A = [aij],

     1, jika simpul i dan j bertetangga  aij = { 

      0, jika simpul i dan j tidak          bertetangga 

  Matriks Ketetanggaan (adjacency matrix)

Graph

Matriks Ketetanggaan

Matriks Ketetanggaan (adjacency matrix)

Graph

Matriks Ketetanggaan

Matriks Ketetanggaan (adjacency matrix)

Graph

Matriks Ketetanggaan

Matriks Ketetanggaan (adjacency matrix)

Graph

Matriks Ketetanggaan

Derajat tiap simpul i:

(a) Untuk graph tak-berarah,

(b) Untuk graph berarah,

din (vj)  = jumlah nilai pada kolom 

dout (vi) = jumlah nilai pada baris 

Derajat tiap simpul

Graph

Derajat simpul 2 = 1+0+1+1 = 3

Derajat simpul 4 = 0+1+1+0 = 2

Matriks Ketetanggaan

Derajat tiap simpul

Graph

 

Derajat masuk simpul 2 = 1+0+0+1 = 2

Derajat keluar simpul 2 = 1+0+1+1 = 3

Matriks Ketetanggaan

Matriks Ketetanggaan Graph Berbobot

Graph

Tanda tak terhingga bila tdk ada sisi dari simpul I ke j

Matriks Ketetanggaan

Matriks Bersisian (incidency matrix) 

A = [aij], 1,    jika simpul i bersisian dengan sisi j  

aij = { 

0,   jika simpul i tidak bersisian dengan sisi j

Matriks Bersisian (incidency matrix)

Graph

Matriks Bersisian

Senarai Ketetanggaan (adjacency list)

Graph

Senarai Ketetanggaan

Matriks Ketetanggaan (adjacency matrix)

Graph

Senarai Ketetanggaan

Senarai Ketetanggaan (adjacency list)

Graph

 

Senarai Ketetanggaan

Graph Isomorfik (Isomorphic Graph)

• Dua buah graph yang sama tetapi secara geometri berbeda disebut graph yang saling isomorfik.
• Dua buah graph, G1 dan G2 dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi satu-satu antara simpul-simpul keduanya dan antara sisi-sisi keduaya sedemikian sehingga hubungan kebersisian tetap terjaga.

Graph Isomorfik (Isomorphic Graph)

• Dengan kata lain, misalkan sisi e bersisian dengan simpul u dan v di G1, maka sisi e’ yang berkoresponden di G2 harus bersisian dengan simpul u’ dan v’ yang di G2.
• Dua buah graph yang isomorfik adalah graph yang sama, kecuali penamaan simpul dan sisinya saja yang berbeda.  Ini benar karena sebuah graph dapat digambarkan dalam banyak cara.

Graph Isomorfik (Isomorphic Graph)

 (a) G1                         (b) G2                           (c) G3

G1 isomorfik dengan G2, tetapi G1 tidak isomorfik dengan G3

Graph Isomorfik (Isomorphic Graph)

Graph (a) dan Graph (b) isomorfik

 

Dua buah graph  isomorfik

 

Tiga buah graph isomorfik

Graph Isomorfik (Isomorphic Graph)

Dari definisi graph isomorfik dapat dikemukakan bahwa dua buah graph isomorfik memenuhi ketiga syarat berikut [DEO74]:

1. Mempunyai jumlah simpul yang sama.
2. Mempunyai jumlah sisi yang sama
3. Mempunyai jumlah simpul yang sama berderajat tertentu
   

Graph Isomorfik (Isomorphic Graph)

Ketiga syarat ini ternyata belum cukup menjamin. Pemeriksaan secara visual perlu dilakukan.

Graph Planar (Planar Graph) dan Graph Bidang (Plane Graph)

Graph yang dapat digambarkan pada bidang datar dengan sisi-sisi tidak saling memotong disebut sebagai graph planar,  jika tidak, ia disebut graph tak-planar. 

Graph Planar (Planar Graph)

Graph Planar

Graph K4

Graph Tidak Planar

Graph K5

Graph Planar (Planar Graph)

• Graph persoalan utilitas (K3,3) bukan graph planar

Graph Planar (Planar Graph)

• Sisi-sisi pada graph planar membagi bidang menjadi beberapa wilayah (region) atau muka (face). Jumlah wilayah pada graph planar dapat dihitung dengan mudah. 
•  Graph planar yang terdiri atas 6 wilayah

Graph Planar (Planar Graph) 

Rumus Euler   n – e + f = 2

 f = jumlah wilayah

 e = jumlah sisi

n = jumlah simpul

n = 11

e = 7

f = 11-7+2 = 6

Teorema Kuratoswki

Berguna untuk menentukan dengan tegas keplanaran suatu graph.

Sifat graph Kuratowski adalah:

• Kedua graph KuKedua graph Kuratowski adalah graph teratur.
• ratowski adalah graph tidak-planar
• Penghapusan sisi atau simpul dari graph Kuratowski menyebabkannya menjadi graph planar
• Graph Kuratowski pertama adalah graph tidak-planar dengan jumlah simpul minimum, dan graph Kuratowski kedua adalah graph tidak-planar dengan jumlah sisi minimum.  

TEOREMA Kuratowski

Graph G bersifat planar jika dan hanya jika ia tidak mengandung upagraph yang sama dengan salah satu graph Kuratowski atau homeomorfik (homeomorphic) dengan salah satu dari keduanya.

G1                            G2                              G3

Tiga buah graph yang homemorfik satu sama lain

TEOREMA Kuratowski

Graph di bawah ini bukan graph planar karena mengandung upagraph (G1) yang sama dengan K3,3.

 TEOREMA Kuratowski

G tidak planar karena mengandung upagraph (G1) yang homeomorfik dengan K5 (dengan membuang simpul-simpul yang berderajat 2 dari G1, diperoleh K5).

G                             G1                             K5

Lintasan dan Sirkuit Euler

• Lintasan Euler ialah lintasan yang melalui masing-masing sisi di dalam graph tepat satu kali. 
•  Sirkuit Euler ialah sirkuit yang melewati masing-masing sisi tepat satu kali. 
• Graph yang mempunyai sirkuit Euler disebut graph Euler (Eulerian graph). Graph yang mempunyai lintasan Euler dinamakan juga graph semi-Euler (semi-Eulerian graph).

Lintasan dan Sirkuit Euler

• Lintasan Euler pada graph (a) : 3, 1, 2, 3, 4, 1
• Lintasan Euler pada graph (b) : 1, 2, 4, 6, 2, 3, 6, 5, 1, 3
•  Sirkuit Euler pada graph 
    (c) : 1, 2, 3, 4, 7, 3, 5, 7, 6, 5, 2, 6,1

Lintasan dan Sirkuit Euler

• Sirkuit Euler pada graph (d) : a, c, f,  e, c, b, d, e, a, d, f, b, a
• Graph (e) dan (f) tidak mempunyai lintasan maupun sirkuit Euler

Lintasan dan Sirkuit Euler

• (a) dan (b) graph semi-Euler 
•  (c) dan (d) graph Euler
•  (e) dan (f) bukan graph semi-Euler atau graph Euler

TEOREMA

• Graph tidak berarah memiliki lintasan Euler jika dan hanya jika terhubung dan memiliki dua buah simpul berderajat ganjil atau tidak ada simpul berderajat ganjil sama sekali

TEOREMA

• Graph tidak berarah G adalah graph Euler (memiliki sirkuit Euler) jika dan hanya jika setiap simpul berderajat genap.
• (Catatlah bahwa graph yang memiliki sirkuit Euler pasti mempunyai lintasan Euler, tetapi tidak sebaliknya)

TEOREMA

• Graph berarah G memiliki sirkuit Euler jika dan hanya jika G terhubung dan setiap simpul memiliki derajat-masuk dan derajat-keluar sama. G memiliki lintasan Euler jika dan hanya jika G terhubung dan setiap simpul memiliki derajat-masuk dan derajat-keluar sama kecuali dua simpul, yang pertama memiliki derajat-keluar satu lebih besar derajat-masuk, dan yang kedua memiliki derajat-masuk satu lebih besar dari derajat-keluar.

Lintasan dan Sirkuit Euler

• (a) Graph  berarah Euler (a, g, c, b, g, e, d, f, a)
•  (b) Graph berarah semi-Euler (d, a, b, d, c, b)
•  (c) Graph berarah bukan Euler maupun semi-Euler

Lintasan dan Sirkuit Euler

• Bulan sabit Muhammad

Lintasan dan Sirkuit Hamilton

• Lintasan Hamilton ialah lintasan yang melalui tiap simpul di dalam graph tepat satu kali. 
•  Sirkuit Hamilton ialah sirkuit yang melalui tiap simpul di dalam graph tepat satu kali, kecuali simpul asal (sekaligus simpul akhir) yang dilalui dua kali.
•  Graph yang memiliki sirkuit Hamilton dinamakan graph Hamilton, sedangkan graph yang hanya memiliki lintasan Hamilton disebut graph semi-Hamilton.

Lintasan dan Sirkuit Hamilton

(a) graph yang memiliki lintasan Hamilton (misal: 3, 2, 1, 4)

(b) graph yang memiliki lintasan Hamilton (1, 2, 3, 4, 1)

(c) graph yang tidak memiliki lintasan maupun sirkuit Hamilton

(a)                                   (b)                          (c)        

Lintasan dan Sirkuit Hamilton

(a) Dodecahedron Hamilton

(b) graph yang mengandung sirkuit Hamilton

(a)                                                (b)     

TEOREMA

• Syarat cukup (jadi bukan syarat perlu) supaya graph sederhana G dengan n (³ 3) buah simpul adalah graph Hamilton ialah bila derajat tiap simpul paling sedikit n/2 (yaitu, d(v) ³ n/2 untuk setiap simpul v di  G).

 TEOREMA

• Setiap graph lengkap adalah graph Hamilton
• Di dalam graph lengkap G dengan n buah simpul (n ³ 3), terdapat (n - 1)!/2 buah sirkuit Hamilton.

TEOREMA

• Di dalam graph lengkap G dengan n buah simpul (n ³ 3 dan n ganjil), terdapat (n - 1)/2 buah sirkuit Hamilton yang saling lepas (tidak ada sisi yang beririsan). Jika n genap dan n  ³ 4, maka di dalam G terdapat (n - 2)/2 buah sirkuit Hamilton yang saling lepas.

 Contoh

(Persoalan pengaturan tempat duduk). Sembilan anggota sebuah klub bertemu tiap hari untuk makan siang pada sebuah meja bundar. Mereka memutuskan duduk sedemikian sehingga setiap anggota mempunyai tetangga duduk berbeda pada setiap makan siang. Berapa hari pengaturan tersebut dapat dilaksanakan?

Jumlah pengaturan tempat duduk yang berbeda

adalah (9 - 1)/2 = 4.

Lintasan dan Sirkuit Hamilton

• Graph yang merepresentasikan persoalan pengaturan tempat duduk.

 Lintasan dan Sirkuit Hamilton/ Euler

• Beberapa graph dapat mengandung sirkuit Euler dan sirkuit Hamilton sekaligus, mengandung sirkuit Euler tetapi tidak mengandung sirkuit Hamilton, mengandung sirkuit Euler dan lintasan Hamilton, mengandung lintsan Euler maupun lintasan Hamilton, tidak mengandung lintasan Euler namun mengandung sirkuit Hamilton, dan sebagainya!).

 Lintasan dan Sirkuit Hamilton/ Euler

• Graph (a) mengandung sirkuit Hamilton maupun sirkuit Euler  
• graph (b)  mengandung sirkuit Hamilton dan lintasan Euler (periksa).

(a)                             (b)          

Beberapa Aplikasi Graf

1. Lintasan Terpendek (Shortest Path)

• lintasan terpendek: lintasan yang memiliki total bobot  minimum
•  graf berbobot (weighted graph)

Contoh aplikasi:

• Menentukan jarak terpendek/waktu tempuh tersingkat/ongkos termurah  antara dua buah kota
•  Menentukan waktu tersingkat pengiriman pesan (message) antara dua buah terminal pada jaringan komputer.

 Lintasan Terpendek

Terdapat beberapa jenis persoalan lintasan terpendek, antara lain :

• Lintasan terpendek antara dua buah simpul teretentu
• Lintasan terpendek antara semua pasangan simpul
• Lintasan terpendek dari simpul tertentu kesemua simpul yang lain
• Lintasan terpendek antara dua buah simpul yang melalui beberapa simpul tertentu

==> Di dalam kuliah ini kita memilih jenis persoalan 3.

Lintasan Terpendek

• Uraian persoalan
• Diberikan graf berbobot G = (V, E) dan sebuah simpul a. Tentukan lintasan terpendek dari a ke setiap simpul lainnya di G. Asumsi yang kita buat adalah bahwa semua sisi berbobot positif.

Lintasan Terpendek

Graph

Algoritma Dijkstra

Merupakan Algoritma menentukan lintasan terpendek yang terkenal.

Properti algoritma Dijkstra:

1. Matriks ketetanggaan M[mij]                                                                                           mij = bobot sisi (i, j)   (pada graf tak-berarah mij = mji )                                                  mii = 0                                                                                                                            mij = ¥, jika tidak ada sisi dari simpul i ke simpul j
2.  Larik S = [si] yang dalam hal ini,                                                                                      si = 1, jika simpul i termasuk ke dalam lintasan terpendek                                                si = 0, jika simpul i tidak termasuk ke dalam lintasan terpendek
3. Larik/tabel D = [di] yang dalam hal ini,                                                                              di = panjang lintasan dari simpul awal s ke simpul i

Beberapa Aplikasi Graf

B. Persoalan Perjalanan Pedagang (Travelling Salesperson Problem - TSP)

• Diberikan sejumlah kota dan jarak antar kota. Tentukan sirkuit terpendek yang harus dilalui oleh seorang pedagang bila pedagang itu berangkat dari sebuah kota asal dan menyinggahi setiap kota tepat satu kali dan kembali lagi ke kota asal keberangkatan.

 ==> menentukan sirkuit Hamilton yang memiliki bobot minimum

Aplikasi TSP

• Pak Pos mengambil surat di kotak pos yang tersebar pada n buah lokasi  di berbagai sudut kota. 
•  Lengan robot mengencangkan n buah mur pada beberapa buah peralatan mesin dalam sebuah jalur perakitan. 
•  Produksi n komoditi berbeda dalam sebuah siklus.

 Travelling Salesperson Problem

Jumlah sirkuit Hamilton di dalam graf lengkap dengan n simpul (n - 1)!/2

Graf di atas memiliki (4 – 1)!/2 = 3 sirkuit Hamilton, yaitu :

 I1 = (a, b, c, d, a) atau (a, d, c, b, a)  ==> panjang = 10 + 12 + 8 + 15 = 45

 I2 = (a, c, d, b, a) atau (a, b, d, c, a)  ==> panjang = 12 + 5 + 9 + 15 = 41

 I3 = (a, c, b, d, a) atau (a, d, b, c, a)  ==> panjang  = 10 + 5 +9 + 8 = 32

Travelling Salesperson Problem

(a) Jadi, sirkuit Hamilton terpendek adalah I3 = (a, c, b, d, a) atau (a, d, b, c, a) dengan panjang sirkuit = 10 + 5 + 9 + 8 = 32.

(b) Jika jumlah simpul n = 20 akan terdapat (19!)/2 sirkuit Hamilton atau sekitar 6 ´ 1016 penyelesaian.

Beberapa Aplikasi Graf

C. Persoalan Tukang Pos Cina (Chinese Postman Problem)

• Dikemukakan oleh Mei Gan (berasal dari Cina) pada tahun 1962
• Masalahnya adalah sebagai berikut: seorang tukang pos  akan mengantar surat ke alamat-alamat sepanjang jalan di suatu daerah. Bagaimana ia merencanakan rute perjalanannya supaya ia melewati setiap jalan tepat sekali dan kembali lagi ke tempat awal keberangkatan.

 

===> menentukan sirkuit Euler di dalam graf. 

 

Chinese Postman Problem

Lintasan yang dilalui tukang pos: A, B, C, D, E, F, C, E, B, F, A.

PEWARNAAN GRAPH

• Sebuah pewarnaan dari graph G adalah sebuah pemetaan warna-warna ke simpul-simpul dari G sedemikian hingga simpul relasinya mempunyai warna warna yang  berbeda.

BILANGAN KROMATIK

• Bilangan  kromatik dari G adalah jumlah warna minimum yang diperlukan untuk mewarnai graph G,  dilambangkan dgn     (G) {      adalah  huruf Yunani chi }
•  Berapa bilangan kromatik dari graph lengkap K6, K10 dan Kn ?

x (Kn) = n

ALGORITMA WELCH-POWELL

Algoritma Welch-Powell adalah sebuah cara efisien untuk mewarnai sebuah graph G

Algoritma Welch-Powell :

•  Urutkan simpul-simpul G dalam derajat yang menurun. Urutan ini mungkin tidak unik karena bbrp simpul mempunyai derajat sama
•  Gunakan satu warna untuk mewarnai simpul pertama dan untuk mewarnai, dalam urutan yang berurut setiap simpul dari daftar yang tidak berelasi dengan simpul sebelumnya.
•  Mulai lagi dengan dengan daftar paling tinggi dan ulangi proses pewarnaan simpul yang tidak berwarna sebelumnya dengan menggunakan warna kedua.
•  Terus ulangi dengan penambahan warna sampai semua simpul relah diwarnai

Contoh

Graph H

Jadi  χ(H) = 4

Contoh

Graph G

Jadi χ(G) = 3

Contoh

Graph H

Jadi χ(H)= 2

Contoh

Graph G

Jadi χ(G) = 3

Contoh

Graph H

Jadi χ(H) = 3

Contoh

• Adakah graph dengan 1 warna?